Question

2．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为线段B₁C的中点，若三棱锥E-ADD₁的外接球的体积为36π，则正方体的棱长为（　　）

• A． 2
• B． 2$\sqrt{2}$
• C． 3$\sqrt{3}$
• D． 4

Answer 1

分析 如图所示，设三棱锥E-ADD₁的外接球的半径为r由$\frac{4π}{3}×{r}^{3}$=36π，解得r．取AD₁的中点F，连接EF．则三棱锥E-ADD₁的外接球的球心一定在EF上，设为点O．设正方体的棱长为x，在Rt△OFD₁中，利用勾股定理解出即可得出．

解答 解：如图所示，设三棱锥E-ADD₁的外接球的半径为r，
∵三棱锥E-ADD₁的外接球的体积为36π，则$\frac{4π}{3}×{r}^{3}$=36π，
解得r=3．
取AD₁的中点F，连接EF．则三棱锥E-ADD₁的外接球的球心一定在EF上，设为点O．
设正方体的棱长为x，在Rt△OFD₁中，由勾股定理可得：$（\frac{\sqrt{2}}{2}x）^{2}$+（x-3）²=3²，x＞0．
化为：x=4．
∴正方体的棱长为4．
故选：D．

点评 本题考查了正方体的性质、三棱锥的性质、勾股定理、球的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．