Question

11．设双曲线C：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的上、下焦点分别为F₁，F₂，若在双曲线C的下支上存在一点P使得|PF₁|=4|PF₂|，则双曲线C的离心率的取值范围为（　　）

• A． [$\frac{4}{3}$，+∞）
• B． （1，$\frac{4}{3}$]
• C． [$\frac{5}{3}$，+∞）
• D． （1，$\frac{5}{3}$]

Answer 1

分析 由双曲线的定义可得|PF₁|-|PF₂|=3|PF₂|=2a，再根据点P在双曲线的下支上，可得|PF₂|≥c-a，从而求得此双曲线的离心率e的取值范围．

解答 解：∵|PF₁|=4|PF₂|，
∴由双曲线的定义可得|PF₁|-|PF₂|=3|PF₂|=2a，
∴|PF₂|=$\frac{2}{3}$a，
∵点P在双曲线的下支，
∴$\frac{2}{3}$a≥c-a，即$\frac{5}{3}$a≥c，
∴e≤$\frac{5}{3}$，
∵e＞1，
∴1＜e≤$\frac{5}{3}$，
∴双曲线的离心率e的取值范围为（1，$\frac{5}{3}$]．
故选：D．

点评 本题考查双曲线的定义和标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．