Question

19．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2+2cosφ\\ y=2sinφ\end{array}\right.$（φ为参数），直线l的方程为x+$\sqrt{3}$y-9=0，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求圆C和直线l的极坐标方程；
（2）射线OA：θ=$\frac{π}{6}$与圆C的交点是O，M，与直线l的交点为N，求线段MN的长．

Answer 1

分析 （1）由圆的参数方程消去参数求出圆C的普通方程，由此能求出圆C极坐标方程；由直线l的直角坐标方程，能求出直线l的极坐标方程．
（2）射线OA：θ=$\frac{π}{6}$的直角坐标方程为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}x$，联立方程组分别求出M和N的坐标，由此利用两点间距离公式能求出线段MN的长．

解答 解：（1）∵圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2+2cosφ\\ y=2sinφ\end{array}\right.$（φ为参数），
∴圆C的普通方程为（x-2）²+y²=4，即x²+y²-4x=4，
∴圆C极坐标方程为ρ²-4ρ-4=0．
∵直线l的方程为x+$\sqrt{3}$y-9=0，
∴直线l的极坐标方程为$ρcosθ+\sqrt{3}ρsinθ$-9=0．
（2）射线OA：θ=$\frac{π}{6}$的直角坐标方程为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}x$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{（x-2）^{2}+{y}^{2}=4}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{3}x}\end{array}\right.$，得O（0，0），M（3，$\sqrt{3}$），
联立$\left\{\begin{array}{l}{x+\sqrt{3}y-9=0}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{3}x}\end{array}\right.$，得N（$\frac{9}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$），
∴线段MN的长|MN|=$\sqrt{（3-\frac{9}{2}）^{2}+（\sqrt{3}-\frac{3\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查圆和直线的极坐标方程的求法，考查线段长的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．