Question

15．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²-alnx（a＞0）．
（Ⅰ） 若a=1，求f（x）单调区间和极值；
（Ⅱ） 若f（x）在区间（1，e）上恰有两个零点，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用f′（x求单调区间和极值；
（Ⅱ）f（x）=x²-alnx=0在（1，e）上有两解，可得f（x）=x²-alnx在（1，e）与x轴有两交点，根据单调性及最值情况即可求出实数a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}-lnx，f'（x）=x-\frac{1}{x}$=0，x=1（负值舍去），
当x∈（0，1]时，f′（x）＜0；当x∈[1，+∞）时，f′（x）＞0；
∴ha函数f（x）的减区间为（0，1]；增区间为[1，+∞）；
函数f（x）的极小值为f（1）=$\frac{1}{2}$…（6分）
（Ⅱ）由$f'（x）=x-\frac{a}{x}=\frac{{{x^2}-a}}{x}$．
由a＞0及定义域为（0，+∞），令$f'（x）=0，得x=\sqrt{a}$．
①若$\sqrt{a}≤1，即0＜a≤1$，在（1，e）上，f'（x）＞0，f（x）在[1，e]上单调递增，
函数不可能有两个零点；
②若$\sqrt{a}≥e，即a≥{e^2}$，在（1，e）上，f'（x）＜0，f（x）在[1，e]上单调递减，
函数不可能有两个零点；
③若$1＜\sqrt{a}＜e，即1＜a＜{e^2}$，在$（1，\sqrt{a}）$上，f'（x）＜0，f（x）单调递减；
在$（\sqrt{a}，e）$上，f'（x）＞0，f（x）单调递增，
因此f（x）在区间[1，e]上的最小值为$f（\sqrt{a}）=\frac{1}{2}a（1-lna）$．
要使f（x）在区间（1，e）上恰有两个零点，则
∴$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}a（1-lna）＜0\\ f（1）=\frac{1}{2}＞0\\ f（e）=\frac{1}{2}{e^2}-a＞0\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}a＞e\\ a＜\frac{1}{2}{e^2}\end{array}\right.$，此时，$e＜a＜\frac{1}{2}{e^2}$．
所以，a的取值范围为$（e，\frac{1}{2}{e^2}）$．…（12分）

点评 本题考查导数知识的运用，考查参数的分离，考查函数的单调性与值域，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．