Question

已知点A（-1，0），B（1，0），P是平面上一动点，且满足|

PB

|•|

AB

|=

PA

•

BA

．
（Ⅰ）设点P的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；
（Ⅱ）M是曲线C上的动点，以线段MB为直径作圆，证明该圆与y轴相切；
（Ⅲ）已知点Q（m，2）在曲线C上，过点Q引曲线C的两条动弦QD和QE，且QD⊥QE．判断：直线DE是否过定点？试证明你的结论．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）设P（x，y），代入|

PB

|•|

AB

|=

PA

•

BA

，能求出曲线C的方程．
（Ⅱ）设M（x，y），则由抛物线的定义知圆的通径为x=1，由已知条件推导出圆心坐标为（

x+1

2

，

y

2

），由此能证明直线与圆相切．
（Ⅲ）由已知条件分别求出D（

4

k2

-

4

k

+1，

4

k

-2），E（4k²+4k+1，-4k-2），从而得到直线DE的方程为y+2=

k

-k2-k+1

(x-5)，由此求出直线DE过定点（5，-2）．

解答： （Ⅰ）解：设P（x，y），代入|

PB

|•|

AB

|=

PA

•

BA

，
得

(x-1)2+y2

=1+x，
化简，得y²=4x．
∴曲线C的方程为y²=4x．（4分）
（Ⅱ）证明：设M（x，y），则由抛物线的定义知圆的通径为x=1，
∵圆心为线段MB的中点，且B（1，0），
∴圆心坐标为（

x+1

2

，

y

2

），
∴圆心到y轴的距离等于半径，
∴直线与圆相切．（8分）
（Ⅲ）解：将Q（m，2）代入y²=4x，得m=1，∴点Q的坐标为（1，2），
设直线QD的方程为y-2=k（x-1），代入y²=4x，得y2-

4

k

y+

8

k

-4=0，
由y₁=2，得y2=

4

k

-2，
∴D（

4

k2

-

4

k

+1，

4

k

-2），
同理可设QE：y-2=-

1

k

(x-1)，代入y²=4x，得E（4k²+4k+1，-4k-2），
由此直线DE的方程为：y+4k+2=

4 k +4k

4 k2 - 4 k -4k2-4k

（x-4k²-4k-1），
化简，得（-k²-k+1）y=kx+2k²-3k-2，
即y+2=

k

-k2-k+1

(x-5)，
∴直线DE过定点（5，-2）．（13分）

点评：本题考查曲线方程的求法，考查直线与圆相切的证明，考查直线是否过定点的判断与证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．