Question

11．已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．
（Ⅱ）利用余弦函数的单调性，求得f（x）的单调区间．

解答 解：（Ⅰ）根据函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象，
可得A=2，$\frac{3T}{4}$=$\frac{3}{4}•\frac{2π}{ω}$=$\frac{5π}{12}$+$\frac{π}{3}$，∴ω=2．
再根据五点法作图，可得2•$\frac{5π}{12}$+φ=0，∴φ=-$\frac{5π}{6}$，∴f（x）=2cos（2x-$\frac{5π}{6}$）．
（Ⅱ）令2kπ≤2x-$\frac{5π}{6}$≤2kπ+π，求得kπ+$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{11π}{12}$，
可得函数的减区间为[kπ+$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{11π}{12}$]，k∈Z．
令2kπ-π≤2x-$\frac{5π}{6}$≤2kπ，求得kπ-$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{12}$，
可得函数的增区间为[kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$]，k∈Z．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，余弦函数的单调性，属于基础题．