Question

1．已知抛物线C：y²=4x，P为C上一点且纵坐标为2，Q，R是C上的两个动点，且PQ⊥PR．
（Ⅰ）求过点P，且与C恰有一个公共点的直线l的方程；
（Ⅱ）求证：QP过定点，并求出定点坐标．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直线y=2符合题意，当y≠2时，设l的方程m（y-2）=x-1，代入抛物线方程，由△=0，即可求得m的值，直线l的方程；
（Ⅱ）由$\overrightarrow{PQ}$=（$\frac{{a}^{2}}{4}$-1，a-2），$\overrightarrow{PR}$=（$\frac{{b}^{2}}{4}$-1，b-2），则$\overrightarrow{PQ}$•$\overrightarrow{PR}$=0，则ab+2a+2b+20=0，而过QR的直线的斜率为：$\frac{a-b}{\frac{{a}^{2}}{4}-\frac{{b}^{2}}{4}}$=$\frac{4}{a+b}$，整理得4x-20-（a+b）（y+2）=0．可得直线恒过定点（5，-2）．

解答 解：（Ⅰ）由题意可知P（1，2），显然直线y=2符合题意；
当y≠2时，设l的方程m（y-2）=x-1，
$\left\{\begin{array}{l}{m（y-2）=x-1}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，整理得：y²-4my+8m-4=0，
令△=（4m）²-4（8m-4）=0，解得：m=1，
∴y=x+1，
∴直线l的方程y=2或y=x+1；
（Ⅱ）证明：设Q（$\frac{{a}^{2}}{4}$，a），R（$\frac{{b}^{2}}{4}$，b），而P（1，2），
∴$\overrightarrow{PQ}$=（$\frac{{a}^{2}}{4}$-1，a-2），$\overrightarrow{PR}$=（$\frac{{b}^{2}}{4}$-1，b-2），
由于PQ⊥PR，得向量$\overrightarrow{PQ}$•$\overrightarrow{PR}$=0，
即为（$\frac{{a}^{2}}{4}$-1）（$\frac{{b}^{2}}{4}$-1）+（a-2）（b-2）=0，
整理得ab+2a+2b+20=0．
而过QR的直线的斜率为：$\frac{a-b}{\frac{{a}^{2}}{4}-\frac{{b}^{2}}{4}}$=$\frac{4}{a+b}$．
∴过QR的直线方程为y-b=$\frac{4}{a+b}$（x-$\frac{{b}^{2}}{4}$），
整理得：4x+ab-（a+b）y=0，
即4x-（a+b）y-2a-2b-20=0．
化为4x-20-（a+b）（y+2）=0．可得直线恒过定点（5，-2）．
∴直线QR必过定点（5，-2）．

点评 本题考查了抛物线的简单几何性质，考查了直线系方程的运用，考查计算能力，属于中档题．