Question

6．函数y=sin（$\frac{π}{2}$x+φ）（|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示，其中P是图象的最高点，A、B是图象与x轴的交点，则tan∠APB=（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{2}{5}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 过P作x轴垂线，交x轴于D，根据图象求解出AB，和PB，PA的长度吗，利用余弦定理求解cos∠APB，sin∠APB，可得tan∠APB．

解答 解：由题意函数y=sin（$\frac{π}{2}$x+φ），可得BC=T=$\frac{2π}{\frac{π}{2}}=4$，
∵P是图象的最高点，过P作x轴垂线，交x轴于D，
∴AD=1，AB=2，DP=1，
∴AP=$\sqrt{2}$，BP=$\sqrt{10}$，
由余弦定理可得cos∠APB=$\frac{B{P}^{2}+A{P}^{2}-A{B}^{2}}{2BP•AP}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
则sin∠APB=$\sqrt{1-co{s}^{2}∠APB}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
则tan∠APB=$\frac{sin∠APB}{cos∠APB}=\frac{\sqrt{5}}{5}×\frac{5}{2\sqrt{5}}=\frac{1}{2}$．
故选D

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，以及余弦定理相结合的计算．属于中档题．