Question

19．已知点P（2，1）与Q关于原点O对称，直线PM，QM相交于点M，且它们的斜率之积是-$\frac{1}{4}$
（Ⅰ）求点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过P作直线l交轨迹C于另一点A，求DPAO的面积的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设出点M的坐标，表示出直线MP、MQ的斜率，求出它们的斜率之积，利用斜率之积是-$\frac{1}{4}$，建立方程，去掉不满足条件的点，即可得到点M的轨迹方程；
（Ⅱ）分类讨论，设出直线方程，结合题设条件求出三角形的面积，即可得出结论．

解答 解：（Ⅰ）设点M（x，y），…（1分）
因为点P（2，1）与Q关于原点O对称，所以Q（-2，-1），
因此，直线PM，QM的斜率之积是$\frac{y-1}{x-2}•\frac{y+1}{x+2}$=-$\frac{1}{4}$，
化简，得$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1（x≠±2），
所以点M的轨迹C的方程为$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1（x≠±2）．…（4分）
（Ⅱ）当直线PA的斜率不存在时，则直线PA的方程为x=2，
则点A的坐标为A（2，-1），S_△AOP=$\frac{1}{2}×2×2$=2．…（5分）
当直线PA的斜率存在时，设斜率为k，则直线PA的方程为y-1=k（x-2），
设设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由直线与椭圆，消去y得（4k²+1）x²-（16k²-8k）x+16k²-16k-4=0，…（6分）
由已知△=16（2k+1）²＞0，所以k$≠\frac{1}{2}$，由题意，x₁=2-$\frac{8k+4}{4{k}^{2}+1}$，
则y₁=-$\frac{（8k+4）k}{4{k}^{2}+1}$+1，
|PA|=$\sqrt{（{x}_{1}-2）^{2}+（{y}_{1}-1）^{2}}$=$\frac{|8k+4|\sqrt{1+{k}^{2}}}{4{k}^{2}+1}$…（7分）
而原点O到直线l的距离为d=$\frac{|2k-1|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，…（8分）
所以S_△AOP=$\frac{1}{2}d|PA|$=2|1-$\frac{2}{1+4{k}^{2}}$|…（9分）
因为k$≠\frac{1}{2}$，所以0＜|1-$\frac{2}{1+4{k}^{2}}$|＜1，从而0＜S_△AOP＜2                 …（11分）
综上可知，0＜S_△AOP≤2．…（12分）

点评 本题考查轨迹方程的求解，注意表示出直线MP、MQ的斜率，考查三角形面积的求法，属于中档题．