题目内容
14．在平面直角坐标系中，曲线C1：$\left\{\begin{array}{l}{x=3+3cosa}\\{y=2sina}\end{array}\right.$（a为参数）经过伸缩变换$\left\{\begin{array}{l}{x′=\frac{x}{3}}\\{y′=\frac{y}{2}}\end{array}\right.$后的曲线为C2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C2的极坐标方程；
（Ⅱ）设曲线C3的极坐标方程为ρsin（$\frac{π}{6}$-θ）=1，且曲线C3与曲线C2相交于P，Q两点，求|PQ|的值．
分析 （Ⅰ）求出C2的参数方程，即可求C2的极坐标方程；
（Ⅱ）C2是以（1，0）为圆心，2为半径的圆，曲线C3的极坐标方程为ρsin（$\frac{π}{6}$-θ）=1，直角坐标方程为x-$\sqrt{3}$y-2=0，求出圆心到直线的距离，即可求|PQ|的值．
解答 解：（Ⅰ）C2的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x′=1+cosα}\\{y′=sinα}\end{array}\right.$（α为参数），普通方程为（x′-1）2+y′2=1，
∴C2的极坐标方程为ρ=2cosθ；
（Ⅱ）C2是以（1，0）为圆心，2为半径的圆，曲线C3的极坐标方程为ρsin（$\frac{π}{6}$-θ）=1，直角坐标方程为x-$\sqrt{3}$y-2=0，
∴圆心到直线的距离d=$\frac{|1-0-2|}{\sqrt{1+3}}$=$\frac{1}{2}$，
∴|PQ|=2$\sqrt{1-\frac{1}{4}}$=$\sqrt{3}$．
点评 本题考查三种方程的互化，考查直线与圆的位置关系，考查弦长的计算，属于中档题．
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