Question

【题目】已知椭圆C：的离心率为，且经过点M(1，)．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）已知直线l不过点P(0，1)，与椭圆C交于A、B两点，记直线PA、PB的斜率分别为k1、k2，且满足k1＋k2＝1，求证：直线l过定点，并求出该定点坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明详见解析；该定点坐标为．

【解析】

（1）由离心率为即，又，得，再由椭圆经过点M(1，)，可求出椭圆C的标准方程.

（2）设，．设直线的方程为,由直线的方程与椭圆方程联立解得点坐标，同理解得点坐标,从而求出直线l的斜率，得出l方程，求出直线l所过的定点.

解：（1）．设椭圆焦距为，则，又，得，

所以的方程化为，将代入有解得，

所以椭圆的标准方程为．

（2）．设，．设直线的方程为

由与椭圆方程联立，得

化简得：

解得，，

同理，解得，．

所以直线的斜率为，

所以直线的方程为，

即 （*）．

取，得直线，

取，得直线，联立两直线解得交点，

经检验，符合方程（*），所以直线过定点．