Question

14．已知函数f（x）═cos²（$\frac{2017π}{3}$+ωx）+$\sqrt{3}$sinωxcosωx，（ω＞0）．若x∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$）时，f（x）有且只有一个最小值，没有最大值，且f（$\frac{π}{6}$）=f（$\frac{π}{3}$），则f（$\frac{π}{10}$）的值为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． 1
• C． $\frac{3}{2}$
• D． $\frac{2+\sqrt{3}}{4}$

Answer 1

分析 先化简函数得到f（x）=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$sin（2ωx-$\frac{π}{6}$），利用x∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$）时，f（x）有且只有一个最小值，没有最大值，且f（$\frac{π}{6}$）=f（$\frac{π}{3}$），求出ω，即可f（$\frac{π}{10}$）的值．

解答 解：f（x）═cos²（$\frac{2017π}{3}$+ωx）+$\sqrt{3}$sinωxcosωx=f（x）═cos²（$\frac{π}{3}$+ωx）+$\sqrt{3}$sinωxcosωx=$\frac{1+cos（\frac{2π}{3}+2ωx）}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$sin（2ωx-$\frac{π}{6}$），
∵x∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$）时，f（x）有且只有一个最小值，没有最大值，且f（$\frac{π}{6}$）=f（$\frac{π}{3}$），
∴$ω=\frac{10}{3}$，
∴f（$\frac{π}{10}$）=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$sin（2×$\frac{10}{3}×\frac{π}{10}$-$\frac{π}{6}$）=1，
故选：B．

点评 本题考查三角函数的化简，考查函数值的计算，正确求出函数解析式是关键．