Question

14．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{kx-1，x≤0}\\{{2}^{-x}-1，x＞0}\end{array}\right.$，（k＜0），当方程f[f（x）]=-$\frac{1}{2}$恰有三个实数根时，实数k的取值范围为（　　）

• A． （-$\frac{1}{2}$，0）
• B． [-$\frac{1}{2}$，0）
• C． （-∞，-$\frac{1}{2}$]
• D． （-∞，-$\frac{1}{2}$）

Answer 1

分析 令f（t）=-$\frac{1}{2}$⇒t=1或t=$\frac{1}{2k}$，再令f（x）=1，f（x）=$\frac{1}{2k}$，由 $-1＜\frac{1}{2k}＜0$，求解即可．

解答 解：∵k＜0，x≤0时，y=kx-1≥-1；x＞0时y=2^-x -1∈（0．-1）
令f（t）=-$\frac{1}{2}$⇒t=1或t=$\frac{1}{2k}$，
令f（x）=1⇒x=$\frac{2}{k}$＜0，符合要求，
令f（x）=$\frac{1}{2k}$，方程f[f（x）]=-$\frac{1}{2}$恰有三个实数根时，令f（x）=$\frac{1}{2k}$必有两根，∴$-1＜\frac{1}{2k}＜0$⇒k＜-$\frac{1}{2}$．
故选：D．

点评 本题考查了分段函数的零点与根的关系问题，需要结合图象，属于难题．