Question

f（x）=3^x+2，f（a+2）=162，h（x）=λ•3^ax-4^x在区间[0，1]上是单调减函数，则λ范围为

 

．

Answer 1

考点：函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：由条件求得3^a=2，可得h（x）=λ•2^x-4^x．令2^x=t，可得t∈[1，2]，h（x）=m（t）=-t²+λt，根据二次函数m（t）的图象的对称轴方程为t=

λ

2

，且m（t）在[1，2]上单调递减，可得

λ

2

≤1，由此求得λ范围．

解答： 解：∵f（x）=3^x+2，f（a+2）=3^a+4=162，∴3^a=2，∴h（x）=λ•3^ax-4^x=λ•2^x-4^x．
令2^x=t，由x∈[0，1]，可得t∈[1，2]，h（x）=m（t）=-t²+λt，
显然二次函数m（t）的图象的对称轴方程为t=

λ

2

，且m（t）在[1，2]上单调递减，∴

λ

2

≤1，
求得λ≤2，
故答案为：（-∞，2]．

点评：本题主要考查复合函数的单调性，指数函数、二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．