Question

已知函数f(x)=

x2+m

x

经过点（1，5）
（1）求m的值；
（2）判断函数f（x）的奇偶性；
（3）证明函数f（x）在[2，+∞）是增函数．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数单调性的判断与证明

专题：计算题,证明题,函数的性质及应用

分析：（1）运用代入法，解方程，即可得到m；
（2）求出定义域，再计算f（-x），与f（x）比较，再由奇偶性定义，即可判断；
（3）运用单调性的定义，注意作差、变形、定符号、下结论等步骤．

解答： （1）解：由于f（1）=5，则1+m=5，即有m=4；
（2）解：f（x）=

x2+4

x

，定义域为{x|x≠0且x∈R}关于原点对称，
f（-x）=

x2+4

-x

=-f（x），则f（x）为奇函数；
（3）证明：设2≤m＜n，则f（m）-f（n）=

m2+4

m

-

n2+4

n

=

(m-n)(mn-4)

mn

，
由于2≤m＜n，则m-n＜0，mn＞4，即mn-4＞0，
则f（m）-f（n）＜0，即有f（m）＜f（n），
故函数f（x）在[2，+∞）是增函数．

点评：本题考查函数的单调性的判断，以及函数的奇偶性的判断，注意运用定义，考查运算能力，属于基础题．