Question

16．设曲线y=xⁿ⁺¹（n∈Z^*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为x_n，则x₁•x₂•x₃…•x_n的值为（　　）

• A． $\frac{1}{n}$
• B． $\frac{n}{n+1}$
• C． $\frac{1}{n+1}$
• D． 1

Answer 1

分析 欲判x₁•x₂•…•x_n的值，只须求出切线与x轴的交点的横坐标即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．

解答 解：对y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）求导得y′=（n+1）xⁿ，
令x=1得在点（1，1）处的切线的斜率k=n+1，
在点（1，1）处的切线方程为y-1=（n+1）（x-1），
不妨设y=0，x_n=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$，
则x₁•x₂•x₃…•x_n=$\frac{1}{2}$•$\frac{2}{3}$•$\frac{3}{4}$…$\frac{n}{n+1}$=$\frac{1}{n+1}$．
故选：C．

点评 本小题主要考查直线的斜率、利用导数研究曲线上某点切线方程、数列等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．