Question

6．已知数列{a_n}是首项等于$\frac{1}{16}$且公比不为1的等比数列，S_n是它的前n项和，满足${S_3}=4{S_2}-\frac{5}{16}$．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=log_aa_n（a＞0且a≠1），求数列{b_n}的前n项和T_n的最值．

Answer 1

分析 （1）根据求和公式列方程求出q，代入通项公式即可；
（2）对a进行讨论，判断{b_n}的单调性和首项的符号，从而得出T_n的最值．

解答 解：（1）∵${S_3}=4{S_2}-\frac{5}{16}$，∵q≠1，∴$\frac{{{a_1}（1-{q^3}）}}{1-q}=4×\frac{{{a_1}（1-{q^2}）}}{1-q}-\frac{5}{16}$．
整理得q²-3q+2=0，解得q=2或q=1（舍去）．
∴${a_n}={a_1}×{q^{n-1}}={2^{n-5}}$．
（2）b_n=log_aa_n=（n-5）log_a2．
∴数列{b_n}是以log_a2为公差，以-4log_a2为首项的等差数列，
∴T_n=-4nlog_a2+$\frac{n（n-1）}{2}$log_a2=$\frac{{n}^{2}-9n}{2}$•log_a2．
1）当a＞1时，有log_a2＞0，数列{b_n}是以log_a2为公差，以-4log_a2为首项的等差数列，
∴{b_n}是递增数列，∴T_n没有最大值．
由b_n≤0，得n≤5．所以（T_n）_min=T₄=T₅=-10log_a2．
2）当0＜a＜1时，有log_a2＜0，数列{b_n}是以log_a2为公差的等差数列，
∴{b_n}是首项为正的递减等差数列．∴T_n没有最小值．
令b_n≥0，得n≤5，（T_n）_max=T₄=T₅=-10log_a2．

点评 本题考查了等比数列，等差数列的性质，数列求和，属于中档题．