Question

1．已知线段AB的端点B的坐标为（0，3），端点A在圆C：（x+1）²+y²=4上运动．
（1）求线段AB的中点M的轨迹方程；
（2）过B点的直线l与圆C有两个交点A，B，弦AB的长为$\frac{{2\sqrt{19}}}{5}$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）利用代入法，求线段AB的中点M的轨迹方程；
（2）由题意知，圆心C（-1，0）到L的距离为$\frac{1}{\sqrt{2}}$CD=$\sqrt{2}$．由点到直线的距离公式得$\frac{|-k-k+3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{2}$，求出k，即可求直线l的方程．

解答 解：（1）设A（x₁，y₁），M（x，y），
由中点公式得x₁=2x-1，y₁=2y-3
因为A在圆C上，所以（2x）²+（2y-3）²=4，即x²+（y-1.5）²=1
点M的轨迹是以（0，1.5）为圆心，1为半径的圆；
（2）设L的斜率为k，则L的方程为y-3=k（x-1），即kx-y-k+3=0
因为CA⊥CD，△CAD为等腰直角三角形，
由题意知，圆心C（-1，0）到L的距离为$\frac{1}{\sqrt{2}}$CD=$\sqrt{2}$．
由点到直线的距离公式得$\frac{|-k-k+3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{2}$，
∴4k²-12k+9=2k²+2
∴2k²-12k+7=0，解得k=3±$\frac{\sqrt{22}}{2}$．

点评 本题考查轨迹方程，考查直线与圆位置关系的运用，正确运用代入法求轨迹方程是关键．