题目内容
设函数f（x）对任意实数x，y，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0，求f（x）在区间[a，b]上的最大值．
考点：抽象函数及其应用
专题：综合题,函数的性质及应用
分析：由已知中对于任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，我们可以得到设x=y=0，则f（0）=0，再令y=-x可得f（-x）=-f（x），进而根据函数奇偶性的定义得到结论f（x）为奇函数，再利用函数单调性的定义由x＞0时，有f（x）＞0，结合对于任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，判断出函数的单调性，进而求f（x）在区间[a，b]上的最大值．
解答：
解：令x=y=0知f（0）=0，
令x+y=0知f（x）+f（-x）=0，
∴f（x）为奇函数．
任取两个自变量x1，x2且-∞＜x1＜x2＜+∞，
则f（x2）-f（x1）=f（x2-x1），
∵x2＞x1，∴x2-x1＞0知f（x2-x1）＜0，即f（x2）-f（x1）＜0，
故f（x2）＜f（x1），
∴f（x）在（-∞，+∞）上是减函数，
∴f（x）在区间[a，b]上的最大值为f（a）．
令x+y=0知f（x）+f（-x）=0，
∴f（x）为奇函数．
任取两个自变量x1，x2且-∞＜x1＜x2＜+∞，
则f（x2）-f（x1）=f（x2-x1），
∵x2＞x1，∴x2-x1＞0知f（x2-x1）＜0，即f（x2）-f（x1）＜0，
故f（x2）＜f（x1），
∴f（x）在（-∞，+∞）上是减函数，
∴f（x）在区间[a，b]上的最大值为f（a）．
点评：本题考查的知识点是抽象函数，函数单调性与性质，是对函数性质及应用的综合考查．
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