Question

某商店经销一种商品，每件进价7元，市场预计以每件20元的价格销售时该店一年可销售2000件，经过市场调研发现每件销售价格在每件20元的基础上每减少一元则增加销售400件，而每增加一元则减少销售100件，现设每件的销售价格为x元，x为整数．
（Ⅰ）写出该商店一年内销售这种商品所获利润y（元）与每件的销售价格x（元）的函数关系式（并写出这个函数的定义域）；
（Ⅱ）当每件销售价格x为多少元时，该商店一年内利润y（元）最大，并求出最大值．

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用

专题：应用题,函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）求出价格为x时的销售量，由销售量乘以每一件的利润得到利润y（元）与每件的销售价格x（元）的函数关系式，由销售量大于0可知单价x小于40元，从而得到函数定义域；
（Ⅱ）利用配方法分段求出函数的最大值，两段函数最大值中的最大者即为商店一年内利润y的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）当7＜x≤20，x∈N^*时，利润y=[2000+400（20-x）]（x-7），
当20＜x＜40，x∈N^*时，利润y=[2000-100（x-20）]（x-7）．
∴y=

[2000+400(20-x)](x-7)，7＜x≤20，x∈N* [2000-100(x-20)](x-7)，20＜x＜40，x∈N*

，
函数的定义域为{x∈N^*|7＜x＜40}；
（Ⅱ）∵y=

[2000+400(20-x)](x-7)，7＜x≤20，x∈N* [2000-100(x-20)](x-7)，20＜x＜40，x∈N*

=

-400[(x-16)2-81]， 7＜x≤20，x∈N* -100[(x- 47 2 )2- 1089 4 ]， 20＜x＜40，x∈N*

，
∴当7＜x≤20时，则x=16，y_max=32400（元），
当20＜x＜40时，则x=23或24，y_max=27200（元）．
综上：当x=16时，该商店获得的利润最大为32400元．

点评：本题考查了函数模型的选择及应用，训练了利用配方法求函数的最值，分段函数的最值要分段求，最后取最大者，是中档题．