Question

6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos$\frac{A}{2}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=3．
（1）求△ABC的面积S．
（2）若b+c=6，求a的值．

Answer 1

分析 （1）利用倍角公式、同角三角函数基本关系式、数量积运算性质、三角形面积计算公式即可得出．
（2）利用余弦定理即可得出．

解答 解：（1）在△ABC中，∵cos$\frac{A}{2}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，∴cosA=2×$（\frac{2\sqrt{5}}{5}）^{2}$-1=$\frac{3}{5}$，A∈（0，π），∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{4}{5}$．
又$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=3，∴bc×$\frac{3}{5}$=3，解得bc=5．
∴S=$\frac{1}{2}×5×\frac{4}{5}$=2．
（2）∵b+c=6，bc=5，
∴a²=（b+c）²-2bc-2bc×cosA=6²-2×5-2×5×$\frac{3}{5}$=20，
解得a=2$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了倍角公式、同角三角函数基本关系式、数量积运算性质、三角形面积计算公式、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．