Question

7．已知三棱锥P-ABC，PA=BC=5，PB=AC=$\sqrt{34}$，PC=AB=$\sqrt{41}$，则此三棱锥的体积是160．

Answer 1

分析 把三棱锥P-ABC补成一个长方体AEBG-FPDC，由题意知三棱锥P-ABC的各边分别是长方体AEBG-FPDC的面对角线，V_{三棱锥P-ABC}=V_{长方体AEBG-FPDC}-V_{三棱锥P-AEB}-V_{三棱锥A-FPC}=V_{长方体AEBG-FPDC}-4V_{三棱锥P-AEB}，由此能求出此三棱锥的体积．

解答 解：如图，把三棱锥P-ABC补成一个长方体AEBG-FPDC，
由题意知三棱锥P-ABC的各边分别是长方体AEBG-FPDC的面对角线，
设PE=x，EB=y，EA=z，
则$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=100}\\{{x}^{2}+{z}^{2}=136}\\{{y}^{2}+{z}^{2}=164}\end{array}\right.$，解得x=6，y=8，z=10，
∴V_{三棱锥P-ABC}=V_{长方体AEBG-FPDC}-V_{三棱锥P-AEB}-V_{三棱锥A-FPC}
=V_{长方体AEBG-FPDC}-4V_{三棱锥P-AEB}
=$6×8×10-4×\frac{1}{6}×6×8×1$0=160．
∴此三棱锥的体积是160．
故答案为：160．

点评 本题考查三棱锥的体积的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．