Question

11．已知函数f（x）=cos²x+$\sqrt{3}$sinxcosx（x∈R）
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）当函数f（x）取得最大值时，求自变量x的集合．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式为f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，利用周期公式即可计算得解．
（2）由正弦函数的图象和性质可得函数f（x）的最大值，由2x+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得f（x）取得最大值$\frac{3}{2}$时自变量x的集合．

解答 解：（1）∵f（x）=cos²x+$\sqrt{3}$sinxcosx=$\frac{1}{2}+$$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
∴函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π．
（2）由正弦函数的图象和性质可得函数f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$的最大值为$\frac{3}{2}$．
由2x+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得：x=kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
可得当函数f（x）取得最大值$\frac{3}{2}$时自变量x的集合为：{x|x=kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z}．

点评 本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，三角函数的图象和性质，属于基础题．