Question

1．如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠CAD=$\frac{π}{4}$，AC=$\frac{7}{2}$，cos∠ADB=-$\frac{\sqrt{2}}{10}$．
（Ⅰ）求sin∠C的值；
（Ⅱ）若BD=2DC，求边AB的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由平方关系求出sin∠ADB的值，由图象和两角差的正弦公式求出sinC的值；
（Ⅱ）由（I）和正弦定理求出CD的长，利用余弦定理求出边AB的长．

解答 解：（Ⅰ）在△ABC中，因为cos∠ADB=-$\frac{\sqrt{2}}{10}$且∠ADB∈（0，π），（1分）
所以sin∠ADB=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$．（2分）
因为∠CAD=$\frac{π}{4}$，所以C=∠ADB-$\frac{π}{4}$．（3分）
所以sin∠C=sin（∠ADB-$\frac{π}{4}$）=$\frac{7\sqrt{2}}{10}×\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{10}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{4}{5}$．（6分）
（Ⅱ）在△ACD中，由正弦定理得$\frac{\frac{7}{2}}{\frac{7\sqrt{2}}{10}}=\frac{CD}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$，∴CD=$\frac{5}{2}$，
∵BD=2DC，∴BC=$\frac{15}{2}$，
∴AB=$\sqrt{\frac{49}{4}+\frac{225}{4}-2×\frac{7}{2}×\frac{15}{2}×\frac{3}{5}}$=$\sqrt{37}$．

点评 本题考查正弦定理、余弦定理，两角差的正弦公式，考查化简、计算能力，属于中档题．