Question

在平面直角坐标系xOy中，已知中心在坐标原点且关于坐标轴对称的椭圆C₁的焦点在抛物线C₂：y²=-4x的准线上，且椭圆C₁的离心率为

1

2

．
（1）求椭圆C₁的方程，
（2）若直线l与椭圆C₁相切于第一象限内，且直线l与两坐标轴分别相交与A，B两点，试探究当三角形AOB的面积最小值时，抛物线C₂上是否存在点到直线l的距离为

2 42

21

．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由题意设椭圆C₁的方程

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0），且

c=1 c a = 1 2 a2=b2+c2

，由此能求出椭圆C₁的方程．
（2）设直线l的方程为y=kx+m（k＜0，m＞0）由

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，由此利用根的判别式、韦达定理、点到直线距离公式、弦长公式能推导出抛物线C₂上不存在点到直线l的距离为

2 42

21

．

解答： 解：（1）∵椭圆C₁的焦点在抛物线C₂：y²=-4x的准线上，且椭圆C₁的离心率为

1

2

．
∴椭圆焦点在x轴上，设椭圆C₁的方程：

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0），
且

c=1 c a = 1 2 a2=b2+c2

，解得a=2，b=

3

，
∴椭圆C₁的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）∵直线l与椭圆C₁相切于第一象限内，
∴直线l的斜率存在且小于零，
设直线l的方程为y=kx+m（k＜0，m＞0）
由

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
由题可知，△=0，
∴m²=4k²+3，
S△AOB=

1

2

|m•(-

m

k

)|=

1

2

|

4k2+3

k

|=

1

2

•(4|k|+

3

|k|

)≥2

3

当4|k|=

3

|k|

即k=-

3

2

时上式等号成立，
此时m=

6

，直线l为y=-

3

2

x+

6

设点D(-

y 2 0

4

，y0)为抛物线C₂上任意一点，
则点D到直线l的距离为d=

|- 3 4 y 2 0 +2y0-2 6 |

7

=

| 3 y 2 0 -8y0+8 6 |

4 7

，
利用二次函数的性质知d≥

6 2 -4

21

=

2 42 (3- 2 )

21

＞

2 42

21

，
∴抛物线C₂上不存在点到直线l的距离为

2 42

21

．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查当三角形面积最小时满足条件的点是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、点到直线距离公式、弦长公式的合理运用．