Question

14．已知数列{a_n}满足a₁=1，点（a_n，a_n+1）在直线y=2x+1上．
（1）求{a_n}的通项公式
（2）求证：$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n-1}}$+$\frac{1}{{a}_{n}}$＜$\frac{5}{3}$．

Answer 1

分析 （1）根据数列和函数的特征，以及数列的递推公式即可求出数列{a_n+1}是以2为首项，以2为公比的等比数列，即可得到数列的通项公式和，
（2）利用放缩法以及等比数列的求和公式即可证明．

解答 解：（1）∵点（a_n，a_n+1）在函数y=2x+1的图象上，
∴a_n+1=2a_n+1，
∴a_n+1+1=2（a_n+1）
∴$\frac{{a}_{n+1}+1}{{a}_{n}+1}$=2，
∵a₁=1，
∴a₁+1=2，
∴数列{a_n+1}是以2为首项，以2为公比的等比数列，
∴a_n+1=2ⁿ，
∴a_n=2ⁿ-1；
（2）证明：由（1）知a_n=2ⁿ-1；
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n}-1}$＜$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{{2}^{n-1}-1}$=$\frac{1}{2{a}_{n-1}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n-1}}$+$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{1}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}-1}$＜$\frac{1}{1}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{7}$+$\frac{1}{14}$+…+$\frac{1}{7•{2}^{n-3}}$
=1+$\frac{1}{3}$+$\frac{2}{7}$[1-（$\frac{1}{2}$）^n-2]＜1+$\frac{1}{3}$+$\frac{2}{7}$=$\frac{34}{21}$＜$\frac{35}{21}$=$\frac{5}{3}$．

点评 本题考查实数值和数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要熟练掌握等比数列的性质，注意放缩法在证明题中的合理运用．