Question

10．已知函数f（x）=（x-4a）（x-2），其中a＞0
（1）若a=$\frac{1}{4}$，求不等式f（x）＜0的解集；
（2）求f（1）+$\frac{1}{a}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）当a=$\frac{1}{4}$时，不等式f（x）＜0变为（x-1）（x-2）＜0，解得1＜x＜2，即可．
（2）f（1）+$\frac{1}{a}$=-（1-4a）+$\frac{1}{a}$=4a+$\frac{1}{a}$-1$≥2\sqrt{4a•\frac{1}{a}}-1$=3（当4a=$\frac{1}{a}$，即a=$\frac{1}{2}$时取等号）．

解答 解：（1）当a=$\frac{1}{4}$时，不等式f（x）＜0变为（x-1）（x-2）＜0，
解得1＜x＜2，即原不等式解集为{x|1＜x＜2}．
（2）∵a＞0，∴f（1）+$\frac{1}{a}$=-（1-4a）+$\frac{1}{a}$=4a+$\frac{1}{a}$-1$≥2\sqrt{4a•\frac{1}{a}}-1$=3
即当4a=$\frac{1}{a}$，即a=$\frac{1}{2}$时，f（1）+$\frac{1}{a}$的最小值为3．

点评 本题考查了二次不等式的解法、均值不等式的应用，属于中档题．