Question

11．现有四个点P₁（0，-1），P₂（-1，-1），P₃（-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），P₄（-1，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），其中只有三个点在椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）是否存在过点M（1，0）的直线l，使得直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点N，且满足AB=2$\sqrt{10}$|MN|，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据椭圆的对称性，得到P₁（0，-1），P₃（-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），P₄（-1，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）三个点在椭圆上，代入椭圆C，求出a²=4，b²=1，由此能求出椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x-1）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点为H（x₀，y₀）
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$得（1+4k²）x²-8k²x+4k²-4=0，${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，
 直线MN：y+$\frac{k}{1+4{k}^{2}}$=-$\frac{1}{k}$（x-$\frac{4{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$），令y=0，得x=$\frac{3{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，即N（$\frac{3{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，0）
|MN|=|$\frac{3{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}-1$|=$\frac{1+{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$
|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\sqrt{1+{k}^{2}}•\frac{4\sqrt{3{k}^{2}+1}}{1+4{k}^{2}}$，由|AB|=2$\sqrt{10}$|MN|，可得k，即可．

解答 解：（Ⅰ）根据椭圆的对称性，P₃（-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），P₄（-1，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），两点必在椭圆C上，
又P₄的横坐标为1，∴椭圆必不过P₁（1，1），
把P₁（0，-1），P₃（-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）代入椭圆C，
得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{3{b}^{2}}{4}=1}\\{\frac{1}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得a²=4，b²=1，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
（Ⅱ）依题意可得直线l的斜率存在且不为0，故设直线l的方程为y=k（x-1）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点为H（x₀，y₀）
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$得（1+4k²）x²-8k²x+4k²-4=0
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，
∴${x}_{0}=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=\frac{4{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，y₀=k（x₀-1）=-$\frac{k}{1+4{k}^{2}}$
直线MN：y+$\frac{k}{1+4{k}^{2}}$=-$\frac{1}{k}$（x-$\frac{4{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$）
令y=0，得x=$\frac{3{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，即N（$\frac{3{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，0）
|MN|=|$\frac{3{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}-1$|=$\frac{1+{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$
|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\sqrt{1+{k}^{2}}•\frac{4\sqrt{3{k}^{2}+1}}{1+4{k}^{2}}$
∵|AB|=2$\sqrt{10}$|MN|，可得2$\sqrt{3{k}^{2}+1}=\sqrt{10}×\sqrt{1+{k}^{2}}$
解得k=±$\sqrt{3}$，
∴存在直线l，直线l的方程为：y=±$\sqrt{3}$（x-1）．

点评 本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，考查了弦长公式、方程的思想，属于中档题．