Question

【题目】已知函数函数在点处的切线为．

（1）求函数的值，并求出在上的单调区间；

（2）若，且，求证：．

Answer 1

【答案】（1）时，为增函数，时，为减函数；（2）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）先利用切点和斜率，列方程组，求得，此时，将区间分为和来研究函数的单调性，其中部分要用二阶导数来求；（2）根据，代入函数的表达式，化简得，令，换元后构造函数，利用导数证明，.

试题解析：

（1）由题意：，所以，解得，

故．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分

当时，为减函数，且为增函数，．．．．．．．．．．．．．．．．．3分

当时，为增函数，且，

故存在唯一使，所以在上为减函数，在上为增函数，

又因为，所以时，为减函数，．．．．．．．．．．．．5分

综上可知：时，为增函数；

时，为减函数．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

（2）由，得，

所以，两边同除以，

得，令，则，

所以，得．．．．．．8分

因为，所以

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分

令，则，

当时，为减函数，

当时，为减函数，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分

所以，（也可以利用斜率），所以，

又，所以，故，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分