题目内容
【题目】设,
(Ⅰ)求的单调区间和最小值;
(Ⅱ)讨论与
的大小关系;
(Ⅲ)求的取值范围,使得
对任意
成立.
【答案】(Ⅰ)的单调减区间是
,单调递增区间是
,最小值为
;(II)当
时,
,当
时,
;(III)
.
【解析】试题分析:(I)求导,并判断导数的符号确定函数的单调区间和极值、最值,即可求得结果;(Ⅱ)通过函数的导数,利用函数的单调性,比较两个函数的大小关系即可;(Ⅲ)利用(Ⅰ)的结论,转化不等式,求解即可.
试题解析:(Ⅰ)由题设知、
,∴
,令
,得
当时,
,故
是
的单调减区间.
当时,
,故
是
的单调递增区间,因此,
是的唯一值点,且为极小值点,从而是最小值点,所以最小值为
.
(Ⅱ)设
,则
,当
时,
即
,当
,时
,因此在
内单调递减,当
时,
即
.当
时,
即
(Ⅲ)由(Ⅰ)知的最小值为
,所以,
,对任意
,成立
,即
,从而得
.
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