Question

18．已知函数f（x）=sinxsin$（\frac{π}{2}-x）+\sqrt{3}{cos^2}$x．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用化简可得函数解析式为f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，利用周期公式即可计算得解．
（Ⅱ）由于f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，即可解得单调递增区间．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=sinxsin$（\frac{π}{2}-x）+\sqrt{3}{cos^2}$x
=$\frac{1}{2}$sin2x+$\sqrt{3}$×$\frac{1+cos2x}{2}$
=sin（2x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π．
（Ⅱ）∵f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得：kπ-$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{π}{12}$，k∈Z，
∴可得f（x）的单调递增区间为：[kπ-$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{π}{12}$]，k∈Z．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，周期公式，正弦函数的单调性，考查了转化思想，属于基础题．