Question

已知数列{a_n}，a₁=2，a_n+1=a_n+

1

n(n+2)

，则通项a_n=

 

．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：由a_n+1-a_n=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

），a_n=a₁+a₂-a₁+a₃-a₂+…+a_n-a_n-1，利用累加求和法能求出通项a_n．

解答： 解：∵数列{a_n}，a₁=2，a_n+1=a_n+

1

n(n+2)

，
∴a_n+1-a_n=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

），
∴a_n=a₁+a₂-a₁+a₃-a₂+…+a_n-a_n-1
=2+

1

2

（1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n-1

-

1

n+1

）
=2+

1

2

（1+

1

2

-

1

n

-

1

n+1

）
=

11

4

-

1

2n

-

1

2n+2

．
故答案为：

11

4

-

1

2n

-

1

2n+2

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意累加法的合理运用．