题目内容
△ABC中，顶点A（1，2），B（4，1），点H（
，
）为△ABC三条高所在直线的交点．
（1）求顶点C坐标；
（2）设直线l：kx+y=0（k∈r），求点A，B，C到l的距离的平方和的取值范围．
| 23 |
| 7 |
| 6 |
| 7 |
（1）求顶点C坐标；
（2）设直线l：kx+y=0（k∈r），求点A，B，C到l的距离的平方和的取值范围．
考点：直线的一般式方程
专题：直线与圆
分析：（1）利用垂心的性质、相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出；
（2）利用点到直线的距离公式、函数的单调性即可得出．
（2）利用点到直线的距离公式、函数的单调性即可得出．
解答：
解：（1）设C（x，y），
∵点H（
，
）为△ABC三条高所在直线的交点，∴CH⊥AB，AH⊥BC．
∴kCH•kAB=kBH•kAC=-1，
∴
•
=-1，
•
=-1，
化为3x-y-9=0，5x+y-7=0，联立解得
，
∴C（2，-3）．
（2）点A，B，C到l的距离的平方和=(
)2+(
)2+(
)2=
=21-
，
∵k2≥0，∴
≤1，∴21-
≥14．
直线l：kx+y=0（k∈r），求点A，B，C到l的距离的平方和的取值范围是[14，21）．
∵点H（
| 23 |
| 7 |
| 6 |
| 7 |
∴kCH•kAB=kBH•kAC=-1，
∴
y-
| ||
x-
|
| 2-1 |
| 1-4 |
1-
| ||
4-
|
| y-2 |
| x-1 |
化为3x-y-9=0，5x+y-7=0，联立解得
|
∴C（2，-3）．
（2）点A，B，C到l的距离的平方和=(
| k+2 | ||
|
| 4k+1 | ||
|
| 2k-3 | ||
|
| 21k2+14 |
| k2+1 |
| 7 |
| k2+1 |
∵k2≥0，∴
| 1 |
| k2+1 |
| 7 |
| k2+1 |
直线l：kx+y=0（k∈r），求点A，B，C到l的距离的平方和的取值范围是[14，21）．
点评：本题考查了垂心的性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、点到直线的距离公式、函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．
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