Question

7．已知圆C：x²+y²-2x-4y+1=0上存在两点关于直线l：x+my+1=0对称，经过点M（m，m）作圆的两条切线，切点分别为P，Q，则|PQ|=（　　）

• A． 3
• B． $2\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{13}$
• D． $\frac{{12\sqrt{13}}}{13}$

Answer 1

分析 由题意直线l：x+my+1=0过圆心C（1，2），从而得到m=-1．圆C半径r=2，当过点M（-1，-1）的切线的斜率不存在时，切线方程为x=-1，把x=-1代入圆C，得P（-1，2）；当过点M（-1，-1）的切线的斜率存在时，设切线方程为y=k（x+1）-1，由圆心C（1，2）到切线y=k（x+1）-1的距离d=r，求出切线方程，与圆联立，得Q（$\frac{23}{13}$，$\frac{2}{13}$），由此能求出|PQ|．

解答 解：∵圆C：x²+y²-2x-4y+1=0上存在两点关于直线l：x+my+1=0对称，
∴直线l：x+my+1=0过圆心C（1，2），
∴1+2m+1=0．解得m=-1．
圆C：x²+y²-2x-4y+1=0的圆心（1，2），半径r=$\frac{1}{2}\sqrt{4+16-4}$=2，
当过点M（-1，-1）的切线的斜率不存在时，切线方程为x=-1，
圆心C（1，2）到x=-1的距离为2，成立，
把x=-1代入圆C：x²+y²-2x-4y+1=0，得y=2，∴P（-1，2），
当过点M（-1，-1）的切线的斜率存在时，设切线方程为y=k（x+1）-1，
圆心C（1，2）到切线y=k（x+1）-1的距离d=$\frac{|k-2+k-1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{|2k-3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=2$，
解得k=$\frac{5}{12}$，
∴切线方程为y=$\frac{5}{12}$（x+1）-1，即5x-12y-7=0，
联立$\left\{\begin{array}{l}{5x-12y-7=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}-2x-4y+1=0}\end{array}\right.$，得169x²-598x+529=0，解得x=$\frac{23}{13}$，y=$\frac{2}{13}$，∴Q（$\frac{23}{13}$，$\frac{2}{13}$），
∴|PQ|=$\sqrt{（\frac{23}{13}+1）^{2}+（\frac{2}{13}-2）^{2}}$=$\frac{12\sqrt{13}}{13}$．
故选：D．

点评 本题考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质、点到直线的距离公式的合理运用．