Question

15．在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，$∠BAC={60°}{，_{\;}}AB=AC=2\sqrt{3}{，_{\;}}PA=2$，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为（　　）

• A． 20π
• B． 24π
• C． 28π
• D． 32π

Answer 1

分析 求出BC，可得△ABC外接圆的半径，从而可求该三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥P-ABC的外接球的表面积．

解答 解：∵AB=AC=2$\sqrt{3}$，∠BAC=60°，
∴由余弦定理可得BC=2$\sqrt{3}$，
设△ABC外接圆的半径为r，则2r=$\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=4，
∴r=2，
设球心O到平面ABC的距离为d，则由勾股定理可得R²=d²+2²=2²+（2-d）²，
∴d=1，R²=5，
∴三棱锥P-ABC的外接球的表面积为4πR²=20π．
故选：A．

点评 本题考查三棱锥P-ABC的外接球的表面积，考查学生的计算能力，确定三棱锥P-ABC的外接球的半径是关键．