Question

12．过点（-1，0）的直线l与圆C：x²+y²-4x=0交于A，B两点，若△ABC为等边三角形，则直线l的斜率为$±\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 设过点（-1，0）的直线l的方程为y=k（x+1），圆C：x²+y²-4x=0的圆心C（2，0），半径r=2，圆心C（2，0）到直线l：y=k（x+1）的距离d=$\frac{|3k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，由△ABC为等边三角形，得|AB|=2，由此能求出直线l的斜率．

解答 解：当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=-1，不成立
当直线l的斜率存在时，设过点（-1，0）的直线l的方程为y=k（x+1），
圆C：x²+y²-4x=0的圆心C（2，0），半径r=2，
圆心C（2，0）到直线l：y=k（x+1）的距离d=$\frac{|3k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
∵直线l与圆C：x²+y²-4x=0交于A，B两点，△ABC为等边三角形，
∴|AB|=2$\sqrt{4-（\frac{|3k||}{\sqrt{{k}^{2}+1}}）^{2}}$=r=2，
解得k=$±\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：$±\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

点评 本题考查直线的斜率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质、点到直线的距离公式的合理运用．