Question

18．函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}2{x^3}+3{x^2}+1（x≤0）\\{e^{ax}}（x＞0）\end{array}\right.$在[-2，3]上的最大值为2，则实数a的取值范围是（　　）

• A． $[\frac{1}{3}ln2，+∞）$
• B． $[0，\frac{1}{3}ln2]$
• C． （-∞，0]
• D． $（-∞，\frac{1}{3}ln2]$

Answer 1

分析 当x∈[-2，0]上的最大值为2； 欲使得函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}2{x}^{3}+3{x}^{2}+1（x≤0）\\{e}^{ax}（x＞0）\end{array}\right.$在[-2，3]上的最大值为2，则当x=3时，e^3a的值必须小于等于2，从而解得a的范围．

解答 解：由题意，当x≤0时，f（x）=2x³+3x²+1，可得f′（x）=6x²+6x，解得函数在[-1，0]上导数为负，函数为减函数，
在[-∞，-1]上导数为正，函数为增函数，
故函数在[-2，0]上的最大值为f（-1）=2；
又有x∈（0，3]时，f（x）=e^ax，分析可得当a＞0时是增函数，当a＜0时为减函数，
故要使函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}2{x}^{3}+3{x}^{2}+1（x≤0）\\{e}^{ax}（x＞0）\end{array}\right.$在[-2，2]上的最大值为2，则当x=3时，e^3a的值必须小于等于2，
即e^3a≤2，
解得a∈（-∞，$\frac{1}{3}$ln2]．
故选：D．

点评 本小题主要考查函数单调性的应用、函数最值的应用的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题