Question

18．已知函数f（x）=e^x+ax-3，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=-2．
（1）求实数a的值及函数f（x）的单调区间；
（2）用[m]表示不超过实数m的最大整数，如：[0，3]=0，[-1，3]=-2，若x＞0时，（m-x）e^x＜m+2，求[m]的最大值．

Answer 1

分析 （1）由条件，曲线在（0，f（0））处的切线斜率k=0，即f'（0）=1+a=0，可得a=-1，f'（x）=e^x-1，再通过解不等式即可求出单调区间；
（2）利用转化思想，x＞0时，不等式（m-x）e^x＜m+2等价于$m＜\frac{{x{e^x}+2}}{{{e^x}-1}}$，然后构造新函数，记g（x）=$\frac{x{e}^{x}+2}{{e}^{x}-1}$，根据（1）的结论可得存在x₀∈（1，2），使得g'（x₀）=0，且g（x）_min=g（x₀），再通过化简运算可得g（x）_min=x₀+1，由x₀∈（1，2），即可求出[m]的最大值．

解答 解：（1）函数f（x）的定义域为（-∞，+∞），f'（x）=e^x+a，
由条件，f'（0）=1+a=0，得a=-1，则f'（x）=e^x-1
由f'（x）=e^x-1＞0得x＞0，由f'（x）＜0得x＜0，
故函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间为（-∞，0）．
（2）x＞0时，不等式（m-x）e^x＜m+2等价于$m＜\frac{{x{e^x}+2}}{{{e^x}-1}}$，
令$g（x）=\frac{{x{e^x}+2}}{{{e^x}-1}}$，∴$g'（x）=\frac{{{e^x}（{{e^x}-x-3}）}}{{{{（{{e^x}-1}）}^2}}}$，
由（1）得u（x）=e^x-x-3在（0，+∞）上单调递增，
又∵u（1）＜0，u（2）＞0，
∴g'（x）在（0，+∞）上有唯一零点x₀，且1＜x₀＜2，
∴当x∈（1，x₀）时，g'（x）＜0，当x∈（x₀+∞）时，g'（x）＞0，
∴g（x）_min=g（x₀），由g'（x₀）=0得${e^{x_0}}={x_0}+3$，
∴g（x）_min=$g（{x_0}）=\frac{{{x_0}（{{x_0}+3}）+2}}{{{x_0}+2}}={x_0}+1$，
∵1＜x₀＜2，∴2＜g（x₀）＜3，
∵m＜g（x₀），∴[m]的最大值为2．

点评 本题考查了利用导数求切线的斜率和函数的单调区间，以及函数恒成立问题，着重考查了数学转化思想方法，以及函数最值的求法，利用参数分离法是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．