Question

已知函数
(1)若，求曲线在处的切线方程；
(2)求的单调区间；
(3）设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围.

Answer 1

(1)(2)详见解析(3)

试题分析：
(1)已知函数的解析式,把切点的横坐标带入函数即可求出切点的纵坐标,对求导得到函数的导函数,把带入导函数即可求的切线的斜率,利用点斜式即可得到切线的方程.
(2)对函数进行求导和求定义域,导函数喊参数,把分为两种情况进行讨论,首先时,结合的定义域即可得到导函数在定义域内恒大于0,进而得到原函数在定义域内单调递增,当时,求解导函数大于0和小于0的解集,得到原函数的单调递增和单调递减区间.
(3)该问题为存在性问题与恒成立问题的结合,即要求,而的最大值可以利用二次函数的图像得到函数在区间上的最值,函数的最大值可以利用第二问的单调性求的,当时,函数单调递增,无最大值,故不符合题意,当时,函数在处前的最大值,带入不等式即可求的的取值范围.
试题解析：
(1)由已知，          1分
，所以斜率，          2分
又切点，所以切线方程为)，即
故曲线在处切线的切线方程为。      3分
(2)      4分
①当时，由于，故，，所以的单调递增区间为.
5分
②当时，由，得.        6分
在区间上，，在区间上，，
所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.    7分
（3）由已知，转化为.      8分
，所以      9分
由(2)知，当时，在上单调递增，值域为，故不符合题意.
(或者举出反例：存在，故不符合题意.)      10分
当时，在上单调递增，在上单调递减，
故的极大值即为最大值，，   12分
所以，解得.    14分