题目内容
9．当前，网购已成为现代大学生的时尚．某大学学生宿舍4人参加网购，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪家购物，掷出点数为5或6的人去淘宝网购物，掷出点数小于5的人去京东商城购物，且参加者必须从淘宝网和京东商城选择一家购物．（1）求这4个人中恰有1人去淘宝网购物的概率；
（2）用ξ，η分别表示这4个人中去淘宝网和京东商城购物的人数，记X=ξη，求随机变量X的分布列与期望E（X）．
分析 （1）这4个人中，每个人去淘宝网购物的概率为$\frac{1}{3}$，去京东网购物的概率为$\frac{2}{3}$，设“这4个人中恰有i个人去淘宝网购物”为事件Ai，由P（Ai）=${C}_{4}^{i}$•${（\frac{1}{3}）}^{i}$•${（\frac{2}{3}）}^{4-i}$，（i=0，1，2，3，4），求出这4个人中恰有1人去淘宝网购物的概率；
（2）由X的所有可能取值为0，3，4，P（X=0）=P（A0）+P（A4），P（X=3）=P（A1）+P（A3），P（X=4）=P（A2），由此求出X的分布列和数学期望．
解答 解：（1）依题意，这4个人中，每个人去淘宝网购物的概率为$\frac{1}{3}$，
去京东网购物的概率为$\frac{2}{3}$，
设“这4个人中恰有i个人去淘宝网购物”为事件Ai（i=0，1，2，3，4），
则P（Ai）=${C}_{4}^{i}$•${（\frac{1}{3}）}^{i}$•${（\frac{2}{3}）}^{4-i}$，（i=0，1，2，3，4），
这4个人中恰有1人去淘宝网购物的概率P（A1）=${C}_{4}^{1}$•$\frac{1}{3}$•${（\frac{2}{3}）}^{3}$=$\frac{32}{81}$；
（2）由已知得X的所有可能取值为0，3，4，
则P（X=0）=P（A0）+P（A4）=${C}_{4}^{0}$•${（\frac{2}{3}）}^{4}$+${C}_{4}^{4}$•${（\frac{1}{3}）}^{4}$=$\frac{17}{81}$，
P（X=3）=P（A1）+P（A3）=${C}_{4}^{1}$•$\frac{1}{3}$•${（\frac{2}{3}）}^{3}$+${C}_{4}^{3}$•${（\frac{1}{3}）}^{3}$•$\frac{2}{3}$=$\frac{40}{81}$，
P（X=4）=P（A2）=${C}_{4}^{2}$•${（\frac{1}{3}）}^{2}$•${（\frac{2}{3}）}^{2}$=$\frac{24}{81}$，
∴X的分布列为：
| X | 0 | 3 | 4 |
| P | $\frac{17}{81}$ | $\frac{40}{81}$ | $\frac{24}{81}$ |
点评 本题考查了概率的求法语句离散型随机变量的分布列和数学期望问题，是综合题．
名校课堂系列答案| A． | 单调增函数 | |
| B． | 单调减函数 | |
| C． | 在$（{0，\frac{1}{e}}）$上是增函数，在$（{\frac{1}{e}，5}）$上是减函数 | |
| D． | 在$（{0，\frac{1}{e}}）$上是减函数，在$（{\frac{1}{e}，5}）$上是增函数 |
| A． | $\frac{1}{3}$ | B． | $\frac{3}{2}$ | C． | 3 | D． | $\frac{2}{3}$ |