Question

四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形．若AB=2，则球O的表面积为（　　）

• A、

  2π

  32

• B、12π
• C、16π
• D、32π

Answer 1

考点：球的体积和表面积

专题：球

分析：取CD的中点E，连结AE，BE，作出外接球的球心，求出半径，即可求出表面积．

解答：解：取CD的中点E，连结AE，BE，∵在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，
△BCD是边长为3的等边三角形．
∴Rt△ABC≌Rt△ABD，△ACD是等腰三角形，
△BCD的中心为G，作OG∥AB交AB的中垂线HO于O，O为外接球的中心，
BE=

3 3

2

，BG=

3

，

R=

BG2+( 1 2 AB)2

=

3+1

=2．
四面体ABCD外接球的表面积为：4πR²=16π．
故选：C．

点评：本题考查球的内接体知识，考查空间想象能力，确定球的切线与半径是解题的关键．