Question

8．在四棱锥DN⊥平面PBC中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD为等边三角形，AB=AD=$\frac{1}{2}$CD=2，AB⊥AD，AB∥CD，点M是PC的中点．
（I）求证：MB∥平面PAD；
（II）求二面角P-BC-D的余弦值；
（III）在线段PB上是否存在点N，使得DN⊥平面PBC？若存在，请求出$\frac{PN}{PB}$的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取PD中点H，连结MH，AH．由三角形中位线定理可得HM∥CD，HM=$\frac{1}{2}$CD．又已知AB∥CD，AB=$\frac{1}{2}$CD，可得四边形ABMH为平行四边形，得BM∥AH．再由线面平行的判定可得BM∥平面PAD；
（Ⅱ）取AD中点O，连结PO．以O为原点，如图建立空间直角坐标系，由已知求出所用点的坐标，求出平面BCD与平面PBC的法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角P-BC-D的余弦值；
（Ⅲ）设点N（x，y，z），且$\frac{PN}{PB}$=λ，λ∈[0，1]，由$\overrightarrow{PN}=λ\overrightarrow{PB}$求得N的坐标，再由$\overrightarrow{DN}∥\overrightarrow{n}$得到关于λ的方程组，求解即可得到在线段PB上不存在点N，使得DN⊥平面PBC．

解答 （Ⅰ）证明：取PD中点H，连结MH，AH．
∵M为PC的中点，∴HM∥CD，HM=$\frac{1}{2}$CD．
∵AB∥CD，AB=$\frac{1}{2}$CD，∴AB∥HM且AB=HM．
∴四边形ABMH为平行四边形，得BM∥AH．
∵BM?平面PAD，AH?平面PAD，∴BM∥平面PAD；
（Ⅱ）取AD中点O，连结PO．
∵PA=PD，PO⊥AD．
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO?平面PAD，PO⊥平面ABCD．
以O为原点，如图建立空间直角坐标系，
设AB=2，则A（1，0，0），B（1，2，0），C（-1，4，0），
D（-1，0，0），P（0，0，$\sqrt{3}$ ），
$\overrightarrow{BC}$=（-2，2，0），$\overrightarrow{PB}$=（1，2，-$\sqrt{3}$）．
平面BCD的法向量$\overrightarrow{OP}$=（0，0，$\sqrt{3}$ ），
设平面PBC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=-2x+2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=x+2y-\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，令x=1，得$\overrightarrow{n}=（1，1，\sqrt{3}）$．
∴cos＜$\overrightarrow{OP}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{OP}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$．
由图可知，二面角P-BC-D是锐二面角，
∴二面角P-BC-D的余弦值为$\frac{\sqrt{15}}{5}$；
（Ⅲ）不存在．
设点N（x，y，z），且$\frac{PN}{PB}$=λ，λ∈[0，1]，
则$\overrightarrow{PN}=λ\overrightarrow{PB}$，
∴（x，y，z-$\sqrt{3}$）=λ（1，2，-$\sqrt{3}$）．
则x=λ，y=2λ，z=$\sqrt{3}-\sqrt{3}λ$，
∴N（$λ，2λ，\sqrt{3}-\sqrt{3}λ$），$\overrightarrow{DN}$=（$λ+1，2λ，\sqrt{3}-\sqrt{3}λ$）．
若DN⊥平面PBC，则$\overrightarrow{DN}∥\overrightarrow{n}$，即$λ+1=2λ=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{3}λ}{\sqrt{3}}$，此方程无解，
∴在线段PB上不存在点N，使得DN⊥平面PBC．

点评 本题考查直线与平面平行、直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求二面角的平面角，是中档题．