Question

10．在直角坐标系xOy中，直线l过M（2，0），倾斜角为α（α≠0）．以O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin²θ=4cosθ．
（Ⅰ）求直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知直线l与曲线C交于A、B两点，且|MA|=2|MB|，求直线l的斜率k．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求直线的参数方程，结合ρsin²θ=4cosθ得ρ²sin²θ=4ρcosθ，即可得解曲线C的直角坐标方程．
（Ⅱ）把x=2+tcosα，y=tsinα代入y²=4x，得（sin²α）t²-（4cosα）t-8=0．设A、B两点对应的参数分别为t₁与t₂，可求${t_1}+{t_2}=\frac{4cosα}{{{{sin}^2}α}}，{t_1}{t_2}=-\frac{8}{{{{sin}^2}α}}$，又|MA|=2|MB|，消去t₁与t₂即可得解．

解答 （本题满分为10分）
解：（Ⅰ）直线的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2+tcosα\\ y=tsinα\end{array}\right.$（t为参数），
由ρsin²θ=4cosθ得ρ²sin²θ=4ρcosθ，
∴曲线C的直角坐标方程为y²=4x…（5分）
（Ⅱ）把x=2+tcosα，y=tsinα代入y²=4x，得（sin²α）t²-（4cosα）t-8=0．
设A、B两点对应的参数分别为t₁与t₂，
则${t_1}+{t_2}=\frac{4cosα}{{{{sin}^2}α}}，{t_1}{t_2}=-\frac{8}{{{{sin}^2}α}}$，
易知t₁与t₂异号，
又∵|MA|=2|MB|，
∴t₁=-2t₂．消去t₁与t₂，
∴可得：tanα=±2，即k=±2．…（10分）

点评 本题考查了直线的参数方程、简单曲线的极坐标方程的应用，考查了数形结合思想和转化思想的应用，属于中档题．