Question

5．已知函数f（x）=a^x+log_ax（a＞0，且a≠1）．
（1）若f（5a-3）＞f（3a），求实数a的取值范围；
（2）若a=2
①求证：f（x）的零点在（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$）上；
②求证：对任意λ＞0，存在μ＞0，使f（x）＜0在（0，λμ）上恒成立．

Answer 1

分析 （1）讨论a的范围，得出f（x）的单调性，利用单调性和定义域列出不等式组解出a的范围；
（2）①利用零点的存在性定理证明；
②利用f（x）的单调性和f（$\frac{1}{4}$）＜0即可得出结论．

解答 解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），
若a＞1，则f（x）为增函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{5a-3＞3a}\\{5a-3＞0}\\{3a＞0}\end{array}\right.$，解得a＞$\frac{3}{2}$，
若0＜a＜1，则f（x）为减函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{5a-3＜3a}\\{5a-3＞0}\\{3a＞0}\end{array}\right.$，解得$\frac{3}{5}$＜a＜1．
∴a的取值范围是（$\frac{3}{5}$，1）∪（$\frac{3}{2}$，+∞）．
（2）证明：①当a=2时，f（x）=2^x+log₂x，∴f（x）是增函数．
又∵f（$\frac{1}{4}$）=2${\;}^{\frac{1}{4}}$+log₂$\frac{1}{4}$=2${\;}^{\frac{1}{4}}$-2＜0，f（$\frac{1}{2}$）=2${\;}^{\frac{1}{2}}$+log₂$\frac{1}{2}$=$\sqrt{2}$-1＞0，
∴f（x）在（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$）上存在唯一一个零点．
②由①知f（$\frac{1}{4}$）＜0，又f（x）是增函数，
∴f（x）＜0在（0，$\frac{1}{4}$）上恒成立，
∴对任意λ＞0，总存在μ＞0，使得λμ=$\frac{1}{4}$，∴f（x）＜0在（0，λμ）上恒成立．

点评 本题考查了指数函数，对数函数的性质，函数单调性的应用，零点的存在性定理，属于中档题．