Question

8．函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2^x}，0＜x≤1\\ \frac{1}{2}f（{x-1}），x＞1\end{array}$，则方程f（x）=$\frac{1}{x}$在[-3，5]上的所有实根之和为（　　）

• A． 0
• B． 2
• C． 4
• D． 6

Answer 1

分析 由奇函数可将问题转化为求方程f（x）在（3，5]上的所有实根之和，从而解得．

解答 解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，
y=$\frac{1}{x}$在其定义域上也是奇函数；
∴方程f（x）在[-3，3]上的所有实根之和为0，
故问题转化为求方程f（x）在（3，5]上的所有实根之和，
当x∈（3，4]时，f（x）=$\frac{1}{8}$•2^x-3，故$\frac{1}{8}$＜f（x）≤$\frac{1}{4}$，
而$\frac{1}{4}$≤$\frac{1}{x}$＜$\frac{1}{3}$，
故当x=4时，方程f（x）=$\frac{1}{x}$成立；
可判断当x＞4时，f（x）＜$\frac{1}{x}$恒成立，故方程f（x）=$\frac{1}{4}$无解，
故方程f（x）在[-3，5]上的所有实根之和为4，
故选：C．

点评 本题考查了分段函数的应用及函数与方程的关系应用．