题目内容
fn（x）=x-
+
-…+(-1)n-1
（n∈N*，x∈[0，1]），则f2（x），sinx，f3（x）的大小为 ．
| x3 |
| 3! |
| x5 |
| 5! |
| x2n-1 |
| (2n-1)! |
考点：导数的运算
专题：导数的综合应用
分析：利用“作差法”，令g（x）=f2（x）-sinx=x-
-sinx，h（x）=f3（x）-sinx=(x-
+
)-sinx，分别利用导数研究其单调性即可得出．
| x3 |
| 3! |
| x3 |
| 3! |
| x5 |
| 5! |
解答：
解：令g（x）=f2（x）-sinx=x-
-sinx，
g′（x）=1-
-cosx，
g″（x）=-x+sinx≤0，x∈[0，1]，
∴g′（x）≤g′（0）=0，
∴g（x）≤g（0）=0，
∴f2（x）≤sinx．
令h（x）=f3（x）-sinx=(x-
+
)-sinx，
则h′（x）=1-
+
-cosx，
h″（x）=-x+
+sinx≥0，
∴h′（x）≥h′（0）=0，
∴h（x）≥h（0）=0，
∴f3（x）≥sinx．
综上可得：f3（x）≥sinx≥f2（x）．
故答案为：f3（x）≥sinx≥f2（x）．
| x3 |
| 3! |
g′（x）=1-
| x2 |
| 2 |
g″（x）=-x+sinx≤0，x∈[0，1]，
∴g′（x）≤g′（0）=0，
∴g（x）≤g（0）=0，
∴f2（x）≤sinx．
令h（x）=f3（x）-sinx=(x-
| x3 |
| 3! |
| x5 |
| 5! |
则h′（x）=1-
| x2 |
| 2! |
| x4 |
| 4! |
h″（x）=-x+
| x3 |
| 3! |
∴h′（x）≥h′（0）=0，
∴h（x）≥h（0）=0，
∴f3（x）≥sinx．
综上可得：f3（x）≥sinx≥f2（x）．
故答案为：f3（x）≥sinx≥f2（x）．
点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性比及其“作差法”比较两个数的大小，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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