Question

已知曲线C₁的参数方程是

x=t y=t+a

（t为参数，a为实数常数），曲线C₂的参数方程是

x=-t y=-t+b

（t为参数，b为实数常数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₃的极坐标方程是ρ=1．若C₁与C₂分曲线C₃所成长度相等的四段弧，则a²+b²=

 

．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程,参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：由题意将参数方程、极坐标方程化为普通方程，再由题意判断出直线与圆相交截得的弦长所对的圆心角是90°，
利用点到直线的距离公式求出a、b，代入a²+b²求值．

解答： 解：由题意得，C₁的普通方程：y=x+a，C₂的普通方程：y=x+b，
因为曲线C₃的极坐标方程是ρ=1，化为直角坐标方程为x²+y²=1，
因为C₁与C₂分曲线C₃所成长度相等的四段弧，
所以直线y=x+a、y=x+b与圆x²+y²=1相交截得的弦长所对的圆心角是90°，
则圆心到直线的距离d=

2

2

，即

2

2

=

|a|

2

，解得a=±1，
即不妨令a=1、b=-1，所以a²+b²=2，
故答案为：2．

点评：本题考查参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程，以及直线与圆相交的问题，属于中档题．