Question

9．设a∈R，函数f（x）=ax³-3x²，x=2是函数y=f（x）的极值点．
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）在区间[-1，5]上的最值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，根据f′（2）=0，求出a的值即可；
（2）解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最值即可．

解答 解：（1）f′（x）=3ax²-6x=3x（ax-2），
∵x=2是函数y=f（x）的极值点，
∴f′（2）=6（2a-2）=0，解得：a=1；
经检验a=1符合题意；
（2）由（1）得：f（x）=x³-3x²，
f′（x）=3x（x-2），
令f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜0，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜2，
故f（x）在（-∞，0）递增，在（0，2）递减，在（2，+∞）递增，
故f（x）在[-1，0）递增，在（0，2）递减，在（2，5]递增，
而f（-1）=-4，f（0）=0，f（2）=-4，f（5）=50，
∴f_min（x）=-4；f_max（x）=50．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．