Question

已知函数f（x）=2cos²x-sin（2x-

7π

6

）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值，并写出f（x）取最大值时x的取值集合；
（Ⅱ）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c若f（A）=

3

2

，b+c=2．求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,余弦定理

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（Ⅰ）化简可得解析式f（x）=1+sin（2x+

π

6

），从而可求函数f（x）的最大值，并写出f（x）取最大值时x的取值集合；
（Ⅱ）由题意，f(A)=sin(2A+

π

6

)+1=

3

2

，化简可求得A的值，在△ABC中，根据余弦定理，由b+c=2，知bc≤(

b+c

2

)2=1，即a²≥1．又由b+c＞a得a＜2，即可求实数a的取值范围．

解答： 本小题满分（12分）
解：（Ⅰ）f(x)=2cos2x-sin(2x-

7π

6

)=(1+cos2x)-(sin2xcos

7π

6

-cos2xsin

7π

6

)=1+

3

2

sin2x+

1

2

cos2x=1+sin(2x+

π

6

)．
∴函数f（x）的最大值为2．
当且仅当sin(2x+

π

6

)=1，即2x+

π

6

=2kπ+

π

2

(k∈Z)，即x=kπ+

π

6

，k∈Z时取到．
所以函数最大值为2时x的取值集合为{x|x=kπ+

π

6

，k∈Z}．…（6分）
（Ⅱ）由题意，f(A)=sin(2A+

π

6

)+1=

3

2

，化简得 sin(2A+

π

6

)=

1

2

．
∵A∈（0，π），∴2A+

π

6

∈(

π

6

，

13π

6

)，∴2A+

π

6

=

5π

6

，
∴A=

π

3

．
在△ABC中，根据余弦定理，得a2=b2+c2-2bccos

π

3

=(b+c)2-3bc．
由b+c=2，知bc≤(

b+c

2

)2=1，即a²≥1．
∴当b=c=1时，取等号．
又由b+c＞a得a＜2．
所以a的取值范围是[1，2 ）．…（12分）

点评：本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用，余弦定理的应用，不等式的解法，属于中档题．