Question

已知函数f（x）=

lnx

x+1

．
（Ⅰ）若函数f（x）在区间[t，+∞）（t∈N⁺）上存在极值，求t的最大值；
（Ⅱ）设a_n=f（n）（n∈N^*）；
（1）问数列{a_n}中是否存在a_s=a_t（s≠t）？若存在，求出所有相等的两项；若不存在，请说明理由．
（2）若b_n=（n+1）a_n，求证：

n

k=2

1

k

＜b_n＜

n-1

k=1

1

k

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：计算题,证明题,导数的综合应用,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）求导f′（x）=

1+ 1 x -lnx

(x+1)2

，则由题意知，令g（x）=1+

1

x

-lnx=0，则方程g（x）=0在[t，+∞）（t∈N⁺）上有解．从而判断解得位置即可；
（Ⅱ）（1）由题意．a_n=f（n）=

lnn

n+1

，从而可得a₁＜a₂＜a₃，a₄＞a₅＞a₆＞…；从而找相等即可；
（2）构造函数并可判断1-

1

x

＜lnx＜x-1，（x＞0）；从而得到1-

x

y

＜ln

y

x

＜

y

x

-1（x＞0，y＞0），从而证明．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=

1+ 1 x -lnx

(x+1)2

，
由于函数f（x）在区间[t，+∞）（t∈N⁺）上存在极值，
令g（x）=1+

1

x

-lnx=0，则方程g（x）=0在[t，+∞）（t∈N⁺）上有解．
g′（x）=-

1

x2

-

1

x

＜0，
∴g（x）在（0，+∞）上为减函数，
又g（3）=

4

3

-ln3＞0，g（4）=

5

4

-ln4＜0；
∴函数g（x）的零点x=x₀∈（3，4）．
∵方程g（x）=0在[t，+∞）（t∈N⁺）上有解，
∴t≤3，
∴t的最大值为3．
（Ⅱ）a_n=f（n）=

lnn

n+1

，
由（Ⅰ）可知，函数f（x）在（0，x₀）单调递增，在（x₀，+∞）单调递减．
又x₀∈（3，4），
∴a₁＜a₂＜a₃，a₄＞a₅＞a₆＞…；
∵a₁=0，故没有项与之相等；
a₂=

ln2

3

=

ln8

9

=a₈；
a₃=

ln3

4

＜

ln4

5

=a₄；
a₃=

ln3

4

＞

ln5

6

=a₅；
故数列{a_n}中存在唯一相等的两项，即a₂=a₈=

ln2

3

；
（2）证明：通过构造函数易证，
1-

1

x

＜lnx＜x-1，（x＞0）；
1-

x

y

＜ln

y

x

＜

y

x

-1（x＞0，y＞0），

2-1

2

＜ln2-ln1＜

2-1

1

，…

n-(n-1)

n

＜lnn-ln（n-1）＜

n-(n-1)

n-1

；
再叠加得

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＜lnn＜1+

1

2

+…+

1

n-1

．
即

n

k=2

1

k

＜b_n＜

n-1

k=1

1

k

．

点评：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题的处理方法，同时考查了数列的应用，属于中档题．